Касательное пространство к гладкому многообразию ${\displaystyle M}$ в точке ${\displaystyle x}$ — совокупность касательных векторов с введённой на ней естественной структурой векторного пространства. Касательное пространство к ${\displaystyle M}$ в точке ${\displaystyle x}$ обычно обозначается ${\displaystyle T_{x}M}$ или — когда очевидно, о каком многообразии идёт речь — просто ${\displaystyle T_{x}}$.

Совокупность касательных пространств во всех точках многообразия (вместе с самим многообразием) образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением. Соответственно, каждое касательное пространство есть слой касательного расслоения.

Касательное пространство в точке ${\displaystyle p}$ к подмногообразию определяется аналогично.

В простейшем случае, когда гладкое многообразие гладко вложено в векторное пространство (что возможно всегда, согласно Теореме Уитни о вложении), каждое касательное пространство можно естественно отождествить с некоторым афинным подпространством объемлющего векторного пространства.